Ensemble et application (partie III

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I. Famille


1. Définition

Soit et deux ensembles non vides, on appelle famille d'éléments de indexés par toute application :

sera appelé l'ensemble des indices.
sera noté : et l'application sera noté : .

Remarque :
Si , la famille s'appelle suite d'éléments de .


2. Opérations sur les familles

Soient un ensemble et ensemble des indices ; soit la famille des parties de , on définit :

• Intersection : .
  
• Réunion : .
  

3. Partition d'un ensemble

Soient et deux ensembles non vides, soit une famille d'éléments de .
On dit que est une partition de si :

1. .
   
2. .
   
3. 
   

Exemple :
Soit : et , ,
est une partition de .



II. Relation Binaire


1. Définition

Soit un ensemble non vide et un graphe.
On appelle relation binaire definie sur toute correspondance de et on note : .

On note aussi et on dit que : est en relation avec .


2. Propriétés éventuelles d'une relation binaire

Soit une relation binaire sur un ensemble non vide.
est dite :

• Réflexive si : , .
  
• Symétrique si : : .
  
• Transitive si : : et .
  
• Antisymétrique si : : et .
  

3. Relation d'équivalence - Relation d'ordre

Soit un ensemble non vide et soit une relation binaire définie sur .
On dit que :

• est une relation d'équivalence si elle est : Réflexive - Symétrique - Transitive.
  
• est une relation d'ordre si elle est : Réflexive - Antisymétrique - Transitive, et dans ce cas, sera noté s'il n'y a pas de risque de confusion avec une situation usuelle.
  

4. Classe d'équivalence - Ensemble quotient

Soit un ensemble non vide muni d'une relation d'équivalence et soit .

• L'ensemble est appelé classe d'équivalence de et on note généralement : ou .
  
• L'ensemble des classes d'équivalence s'appelle ensemble quotient noté : .
  

Proposition :
Soit un ensemble non vide et soit une relation d'équivalence définie sur , alors :
forme une partition de .


5. Ensemble Ordonné

Soit un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre , on dit alors que est un ensemble ordonné.
Et dans ce cas, pour , on dit que :

• et sont comparables si : ou .
  
• est un ensemble totalement ordonné si tous les éléments de sont comparables, sinon, est partiellement ordonné.
  

6. Eléments particuliers

Soit un ensemble ordonné et soit , on dit que :

• est le plus grand élément de (si il existe) si : et on note .
  
• est le plus petit élément de (si il existe) si : et on note .
  

7. Majorant et Minorant d'une partie

Soit un ensemble ordonné avec non vide et soit avec , on dit que :

• est majorée si : .
  
• est minorée si : .